在概率论中，均匀分布是一种非常基础且重要的连续型随机变量分布形式。其核心在于，随机变量在某个区间内取值的概率密度函数是恒定的，这意味着每个点被选中的可能性完全相等。对于均匀分布在数学上的期望和方差的计算，往往需要通过积分来完成。本文将从理论出发，详细探讨如何推导出均匀分布的期望值、方差以及相关公式。
一、均匀分布的基本定义
假设随机变量 \( X \) 服从区间 \([a, b]\) 上的均匀分布，则其概率密度函数 \( f(x) \) 可以表示为：
\[
f(x) =
\begin{cases}
\frac{1}{b-a}, & a \leq x \leq b \\
0, & \text{其他情况}
\end{cases}
\]
这里的常数 \( \frac{1}{b-a} \) 确保了在整个定义域内的积分等于1，即满足概率密度函数的基本性质。
二、均匀分布的期望值
根据期望值的定义，随机变量 \( X \) 的期望值 \( E(X) \) 是所有可能取值乘以其对应概率的加权平均值。对于连续型随机变量，期望值可以通过以下公式计算：
\[
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx
\]
代入均匀分布的概率密度函数 \( f(x) = \frac{1}{b-a} \)，得到：
\[
E(X) = \int_a^b x \cdot \frac{1}{b-a} dx
\]
进一步简化后：
\[
E(X) = \frac{1}{b-a} \int_a^b x dx
\]
利用积分的基本性质：
\[
\int_a^b x dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_a^b = \frac{b^2 - a^2}{2}
\]
因此：
\[
E(X) = \frac{1}{b-a} \cdot \frac{b^2 - a^2}{2} = \frac{b + a}{2}
\]
三、均匀分布的方差
方差 \( Var(X) \) 定义为随机变量 \( X \) 的平方期望减去期望的平方，即：
\[
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
\]
首先计算 \( E(X^2) \)：
\[
E(X^2) = \int_a^b x^2 \cdot \frac{1}{b-a} dx
\]
同样利用积分公式：
\[
\int_a^b x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_a^b = \frac{b^3 - a^3}{3}
\]
所以：
\[
E(X^2) = \frac{1}{b-a} \cdot \frac{b^3 - a^3}{3} = \frac{b^3 - a^3}{3(b-a)}
\]
接着计算方差：
\[
Var(X) = \frac{b^3 - a^3}{3(b-a)} - \left( \frac{b+a}{2} \right)^2
\]
经过化简后可得：
\[
Var(X) = \frac{(b-a)^2}{12}
\]
四、总结
综上所述，均匀分布在区间 \([a, b]\) 上的期望值和方差分别为：
\[
E(X) = \frac{b + a}{2}, \quad Var(X) = \frac{(b-a)^2}{12}
\]
这两个公式是均匀分布中最基本也是最重要的结果之一。掌握它们不仅有助于解决实际问题，还能加深对概率论的理解。
希望以上内容能够帮助大家更好地理解均匀分布的期望与方差是如何推导出来的！
