【不等式常见公式】在数学学习中，不等式是一个重要的内容，广泛应用于代数、函数、几何以及实际问题的分析中。掌握常见的不等式公式，有助于提高解题效率和逻辑思维能力。以下是对一些常见不等式的总结与归纳，便于查阅和复习。

一、基本不等式

1. 均值不等式（AM ≥ GM）

对于任意正实数 $ a_1, a_2, \dots, a_n $，有：

$$

\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \dots a_n}

$$

当且仅当 $ a_1 = a_2 = \dots = a_n $ 时取等号。

2. 柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）

对于任意实数 $ a_i, b_i $，有：

$$

(a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \dots + b_n^2) \geq (a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n)^2

$$

3. 三角不等式

对于任意实数 $ a, b $，有：

$$

a + b \leq a + b

$$

并且 $ a - b \geq a - b $

4. 绝对值不等式

若 $ x < a $，则 $ -a < x < a $；若 $ x > a $，则 $ x < -a $ 或 $ x > a $

二、特殊不等式

三、不等式应用举例

1. 最值问题

利用均值不等式可以求某些表达式的最大值或最小值。例如：

已知 $ x > 0 $，求 $ x + \frac{1}{x} $ 的最小值。

由 AM ≥ GM 得：

$$

x + \frac{1}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2

$$

当且仅当 $ x = 1 $ 时取到最小值 2。

2. 不等式证明

使用柯西不等式可快速证明一些复杂表达式的大小关系，如：

$$

(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) \geq (ac + bd)^2

$$

3. 不等式解法

对于含有绝对值的不等式，需要分情况讨论。例如：

$$

2x - 3 < 5 \Rightarrow -5 < 2x - 3 < 5 \Rightarrow -1 < x < 4

$$

四、小结

不等式是数学中非常基础又实用的知识点，掌握其常见公式和应用方法，能够有效提升解题能力和数学思维。本文通过与表格形式，系统整理了常见的不等式类型及应用方式，希望对学习者有所帮助。