【指数分布期望方差证明方法】指数分布是概率论中一种重要的连续型概率分布，广泛应用于可靠性工程、排队论和生存分析等领域。其概率密度函数（PDF）为：

$$

f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0

$$

其中，$\lambda > 0$ 是分布的参数，表示事件发生的速率。

本文将对指数分布的期望（均值）和方差进行推导，并以总结形式配合表格展示关键步骤和结果。

一、期望（均值）的证明

期望 $E(X)$ 表示随机变量 $X$ 的平均取值，对于指数分布，计算如下：

$$

E(X) = \int_0^\infty x \cdot \lambda e^{-\lambda x} \, dx

$$

使用分部积分法：

令 $u = x$，$dv = \lambda e^{-\lambda x} dx$

则 $du = dx$，$v = -e^{-\lambda x}$

代入分部积分公式：

$$

E(X) = uv \bigg_0^\infty - \int_0^\infty v \, du = -x e^{-\lambda x} \bigg_0^\infty + \int_0^\infty e^{-\lambda x} dx

$$

计算边界项：

- 当 $x \to \infty$ 时，$x e^{-\lambda x} \to 0$

- 当 $x = 0$ 时，$x e^{-\lambda x} = 0$

因此，第一项为 0。

第二项为：

$$

\int_0^\infty e^{-\lambda x} dx = \left[ -\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x} \right]_0^\infty = \frac{1}{\lambda}

$$

所以，

$$

E(X) = \frac{1}{\lambda}

$$

二、方差的证明

方差 $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$

首先计算 $E(X^2)$：

$$

E(X^2) = \int_0^\infty x^2 \cdot \lambda e^{-\lambda x} \, dx

$$

同样使用分部积分法：

令 $u = x^2$，$dv = \lambda e^{-\lambda x} dx$

则 $du = 2x dx$，$v = -e^{-\lambda x}$

代入得：

$$

E(X^2) = -x^2 e^{-\lambda x} \bigg_0^\infty + \int_0^\infty 2x e^{-\lambda x} dx

$$

第一项仍为 0，剩下：

$$

E(X^2) = 2 \int_0^\infty x e^{-\lambda x} dx = 2 E(X) = 2 \cdot \frac{1}{\lambda} = \frac{2}{\lambda^2}

$$

因此，方差为：

$$

Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{2}{\lambda^2} - \left(\frac{1}{\lambda}\right)^2 = \frac{1}{\lambda^2}

$$

三、总结与对比表

四、结论

指数分布的期望和方差具有简洁的数学表达形式，且与参数 $\lambda$ 成反比关系。这种特性使其在实际应用中非常方便，例如在描述设备寿命或服务时间等场景中，能够快速估算平均值和波动程度。

通过上述推导过程可以看出，指数分布的期望和方差的计算依赖于积分运算和分部积分技巧，这些方法在概率统计中具有广泛应用价值。